Der Cicloide: Welcher ist der kürzeste Weg?

Dieser Artikel ist mein Beitrag in der zweiten von Juan Pablo organisierter Ausgabe des Karnevals der Mathematik.

Einführung

Die Welt der Kurven ist eine wirklich interessante Welt. Wir können uns Formen vieler Typen befinden, seit mehr Bekanntschaften segmentiere ich comoun (ja, obwohl er in vielem sie überrascht, ein Segment eine Kurve im mathematischen Sinn des Begriffes ist) oder eine Portion des Umfanges, bis einige der Hipopede von Eudoxo oder der Cuadratriz.

Ich fühle diese so weite Welt der Kurven wir können viele mit Charakteristika sehr interessant treffen. Der Cicloide ist, zweifellos, eine von ihnen. Er hat einiges sehr neugieriges Eigentum, das, nachdem es gesehen ist, auf unsere eigene Intuition stößt. Diese Kurve wird die Protagonistin dieses Artikels sein.

Was ist der Cicloide?

Beginnen wir diesen Punkt, unserer Freundin den Cicloide vorstellend:

Der Cicloide ist die von einem Punkt entworfene Kurve des Umfanges (gerufener Umfang generatriz), wenn sich diese auf einer Linie (gerufene gerade Richtlinie) dreht, ohne durch sie zu gleiten.

Und nämlich, ist der Cicloide die Kurve, die in roter im folgenden Schaubild erscheint:

Angesichts eines Umfanges von Radius und ein im Ursprung gelegener Punkt der gleichen von Koordinaten, die Gleichungen paramétricas von einem Bogen des von diesem Punkt erzeugten Cicloide sind, nachdem sie den Umfang auf der Achse drehen:

, mit

Der Cicloide war eine entlang der Geschichte sehr gelernte Kurve. Schon hatte er Ende des XVI. Jahrhunderts, Galileischer diese Kurve gelernt, gewisse Annäherungen auf mit ihr verbundenen Rechnen erlangend (konkret auf dem von einem Bogen eingeschlossenen Gebiet von Cicloide). Mersenne hat von aufgefallen, möglich er nachdem diese Studien von Galileischer gekannt hat den Mathematikern dieser Zeit (wir schon im XVII. Jahrhundert sind) gegen diese Kurve. Und viele waren die, die zum Aufruf geeilt haben. So viel war das die von dieser Kurve geschaffene Erwartung, die geendet hat, um sich als die Hellenische der Geometer durch die Quantität der Dispute zwischen Mathematikern zu kennen, die die mit ihr verbundenen Studien provoziert haben.

Der Fall ist, dass einer der ersten, die sie ergeben auf dem Cicloide erreicht haben, Roberval war. Mersenne hat 1628 das Studium dieser Kurve und einige Jahre später, auf 1634 vorgeschlagen, Roberval hat bewiesen, dass das von einem Bogen eingeschlossene Gebiet von Cicloide genau drei Male das Gebiet des Umfanges ist, der sie erzeugt. Niedriger hat er auch eine Methode getroffen, um die berührende im Cicloide irgendeiner Punkt der gleichen zu entwerfen (Problem beschlossenes auch von Fermat und Beiseite lass) und hat Rechnen verbundene mit an den Cicloide angeschlossenen Revolutionsumfängen verwirklicht.

Roberval hat diese Ergebnisse in seinem Augenblick nicht veröffentlicht, da er sie in gewissem Geheimnis bewachen wollte, um sie als Probleme zu benutzen, die Kandidaten in seinem Katheder vorschlagen. Dadurch hat er, wenn Torricelli (Mathematiker, der sich auch für diese Kurve interessiert hat) seine Lösungen in einigen von den von Roberval beschlossenen Fragen veröffentlicht hat, ohne ihn zu erwähnen, geglaubt, dass es um Plagiat ging. Aber die Studien von Torricelli hatten sich von unabhängiger Form bis diese von Roberval entwickelt. Am Ende war die Geschichte mit den zwei gerecht: Roberval war der erste, die Lösungen und Torricelli der erste zu treffen sie zu veröffentlichen.

Aber die Sache ist dort nicht geblieben. 1658 hat Christopher Wren gerechnet, dass die Länge des Bogens von Cicloide vier Male der Durchmesser des Umfanges ist, der besagte Kurve erzeugt. Und viele waren mehr die Mathematiker, wer Bericht seiner Zeit ihr gewidmet hat, zwischen denen sich Pascal, Huygens, Leibniz, Newton, Jakob und Johann Bernoulli berühmte befinden …

Welches Eigentum hat er?

Das große von dieser Kurve hervorgerufene Interesse kommt von den neugierigen Charakteristika, die er besitzt. Außer den schon erwähnten Rechnen hat der Cicloide zwei wirklich interessantes Eigentum und das, als Mädchen für alles sie zu Beginn vom Artikel, in gewisser Art auf unsere Intuition einen Anschlag verüben. Konkret sind das seine Bedingung von Braquistócrona und seine Bedingung von Tautócrona. Wir werden erklären versuchen, was sie dieses zwei Eigentum bedeuten.

Braquistocronía

Das Ende bedeutet die kleinste Zeit braquistócrona. Das Problem vom Braquistócrona kann von der folgenden Form geäußert sein:

Angesichts eines Punkts in einer Ebene und anderem Punkt derselben Ebene gelegt senkrecht niedriger, dass (ohne unter senkrecht gerecht zu sein zu vermögen), die Kurve zu treffen, die er vereinigt und die die Zeit minimal macht, dass ein beweglicher Punkt zögert, von um zu kommen in der Aktie der Schwere unterworfen zu sein

Die Lage der Punkte ist etwas Ähnliches:

Erstens wäre nicht seltsam, zu denken, dass diese Kurve eine gerade Linie ist (ein Segment in diesem Fall), da eine gerade Linie in einer Ebene die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten vorstellt. Aber wir nicht von Entfernungen, sondern von Zeiten sprechen. Wird die Antwort auch die gerade Linie immer noch sein? Sehen wir dieses Video, in dem zwei cicloides und ein Segment erscheinen und antworten wir später:

Weil man die Kugeln (den bewegliche Punkt) sehen kann, kommen sie früher zum Schicksal, wenn sie durch den Cicloide herunterkommen. Und nämlich, dass die Zeit von Strecke im Cicloide kleiner ist, als in einem Segment. Wirklich bagatellisiert der Cicloide diese Zeit von Strecke und nämlich, der Cicloide ist der Braquistócrona. Neugieriger: Wahrheit?

Tautocronía

Der Braquistocronía ist das einzige neugierige Eigentum des Cicloide nicht. Wirklich hat er eine, die überraschender ist, wenn er Platz hat. Wir könnten sie von der folgenden Art äußern:

Nehmen wir an, dass wir einen nach unten "hängenden" Cicloide haben und, dass wir entlang ihrer zwei Kugeln seit verschiedenen Punkten fallen lassen. Die Frage ist, dass er egal ist, seit wir Punkte sie fallen lassen, da die Kugeln gleichzeitig zum niedrigsten Punkt kommen.

Dieses Eigentum wird tautocronía benannt (der dieselbe Zeit bedeutet). Wir werden es in einem Video sehen:

Zum zu Ende Gehen lasse ich euch diese Verbindung. Er hat mir interessant geschienen, weil, in jedem der Raster stechend, die erscheinen, wir cicloides schaffen und grafisch zwei Eigentum kommentiert eher sehen können.

Quellen:

• Geschichte der Mathematikerin, des Carl B. Boyer.
• Cicloide in der spanischen Wikipedia.