Ein verdienstvoller Wissenschaftler solches Namens, erprobt besonders ein Mathematiker, in seiner Arbeit denselben Eindruck wie einen Künstler; seine Lust ist so groß und von derselben Natur.
Jules Henri Poincaré
INFINITUM. Mathematische Verabredungen
Obwohl viele Leute es nicht verstehen, erprobt der Mathematiker eine großartige Empfindung, seine Arbeit verwirklichend. Wie Poincaré, eine große Lust sagt; und, wie Isa, ein Subidón sagt.
Woran denkt ihr?
Ich lasse euch das Problem dieser Woche, in diesem mit dem Jahr verbundenen Fall, in dem wir sind:
Zu beweisen, dass für irgenwelcher man wirkliche positive Nummern überprüft, dass
Zufall.
Dieser Artikel ist eine Mitarbeit gesendet durch fede in gaussianos (arroba) gmail (Punkt) com.
Kurze biographische Beschreibung von Nagel 
Christian Heinrich Von Nagel
Christian Heinrich Von Nagel, deutscher Geometer, wurde am 28. Februar 1803 in Stuttgart, Deutschland, geboren und es ist Deutsche Ulm am 27. Oktober 1882 in auch gestorben.1821 hat Nagel begonnen Theologie zu lernen, seine Studien 1825 beendend. Aber während dieser vier Jahre sind seine Interessen auch auf die Mathematik und die Physik zugegangen.
So viel war er, so dass er Lehrer der Mathematik von sekundäre in der deutschen Stadt Tübingen geworden ist. Aber die Sache ist dort nicht geblieben. 1826 promoviert Nagel dank seiner Arbeit Von Triangulis rectangulis ex-algebraischen Aequatione construendis (Auf Dreiecken Rechtecke construibles seit einer algebraischen Gleichung). Später, 1830, begibt sich Nagel in Ulm, wo er im Gymnasium arbeitet (Schule von sekundäre vorbereitende für obere Studien) dieser Ortschaft.
Sein Hauptbeitrag wird in der Mathematik in der Geometrie des Dreiecks eingerahmt. In diesem Artikel werden wir, zwischen anderen Sachen sehen, zwei mit dem Dreieck verbundene Bauten, die seinen Namen bringen: der Punkt von Nagel und die Linie von Nagel.
Einführung Wie die Entfernung des Baricentro in einem Scheitelpunkt das Doppelte der Entfernung von im halben Punkt der entgegengesetzten Seite ist, der Homotecia bildet mit Mitte und Vernunft-1/2 das Dreieck, Antimittel- oder antiergänzende von, im Dreieck, und diesem in seinem Mittel- oder ergänzenden Dreieck um.
Der Applet GeoGebra-Java nicht ausgeführt sein konnte.
In Geometrie des Dreiecks wird es manchmal Ergänzung des Punkts in seinem Bild im Homotecia und Antiergänzung von in seinem Bild im Homotecia genannt worden
Der Punkt, ein Punkt, sind sie seine Ergänzung, und seine Antiergänzung ausgerichtet, und sind gelegt, sodass das der halbe Punkt von ist und.
Wenn wir in der Figur den Punkt im Circuncentro von stellen, ist der Punkt der Circuncentro des Antimittel-Dreiecks (das der Ortocentro von ist), der Punkt der Circuncentro des Mittel-Dreiecks ist, (und nämlich die Mitte des Kreises von 9 Punkten), und die Linie ist die Linie von Euler des Dreiecks.
Dafür ist der Punkt, wenn wir den Punkt in der Unmitte von stellen, die Unmitte des Antimittel-Dreiecks, des Punkts die Unmitte des Mittel-Dreiecks, und die Linie ist die Linie, die sie sich in Wolfram MathWorld entschieden haben, etwas willkürlich Linie von Nagel, durch zu nennen, der Umstand, dass die Unmitte des Antimittel-Dreiecks der Punkt von Nagel ist, wie wir dann beweisen werden.
Andererseits ist der Punkt von Spieker durch Bestimmung die Unmitte des Mittel-Dreiecks, und von den vorigen Bemerkungen beendet man, dass die Unmitte, der Baricentro, der Punkt von Spieker und der Punkt von Nagel ausgerichtet sind, ist der halbe Punkt des Segments und.
Der Punkt von Nagel 
Wir klingeln ceviana von Nagel in der Linie, in der Figur, die einen Scheitelpunkt mit dem Punkt von Tangencia des exeingetragenen im Scheitelpunkt entgegengesetzten Umfanges mit der entgegengesetzten Seite vereinigt.
Der Punkt, ist im Wesen der Schnittpunkt von einer Berührender Gemeinsamer in den Umfängen eingetragen und exeingetragen entgegengesetzt in mit der Linie, die die Zentren dieser Umfänge vereinigt, Mitte von einem Homotecia, der den im eingetragenen Umfang exeingetragenen Umfang umbildet. Dieser Homotecia bringt den Radius im Radius, parallel in und infolgedessen senkrecht in.
Infolgedessen geht der Ceviana durch den im Kreis diametral entgegengesetzten im Punkt eingetragenen Punkt, von Tangencia dieses Kreises mit der Seite entgegengesetzt in.
Weil wir im Post auf den Kreisen tritangentes und infolgedessen gesehen haben, wenn das der halbe Punkt von ist.
Weil auch, er sich ergibt, sind sie der die parallelen Linien und.
Und wie der Punkt von Nagel und dieser Punkt der Homotecia, der das Dreieck in seinen Antimittel-umbildet, die Linie in eine Linie umbildet, die in und nämlich im Ceviana von Nagel $AE$ als parallel gilt, es sich ergibt, dass die Cevianas von Nagel in einem Punkt zusammenkommen, die Unmitte des Antimittel-Dreiecks ist.
Vom Post beenden wir auf Kreisen tritangentes auch damit, dass die Cevianas von Nagel den Umfang des Dreiecks und nämlich zwei in einem und andere Seite jedes Ceviana gelegte Teile des Umfangs des Dreiecks von Nagel halbieren sie haben gleiche Länge.
Der Punkt von SpiekerDer Punkt von Spieker ist die Mitte des im Mittel-Dreieck eingetragenen Kreises, oder ich fahre von Spieker, und er hat manches ziemlich interessantes Eigentum.
Wenn das in der Figur der halbe Punkt von ist und wir die Seite bis verlängern, ist das sodass, und der halbe Punkt von, und sie sind parallel und.
Camo ist $BE$ in $AH$ senkrecht, und diese Linie ist der äußerliche Bisectriz von, $A_1F$ ist sie zum innereren Bisectriz von parallel, und ist infolgedessen ein Bisectriz des Mittel-Dreiecks.
Infolgedessen halbieren die Linien, die den halben Punkt jeder Seite mit dem Punkt von Spieker und nämlich die Bisectrices des Mittel-Dreiecks vereinigen, den Umfang des Dreiecks, als die Cevianas von Nagel.
Wenn, die Segmente in den Segmenten betreffend gleich sind, und sind die halben Punkte dieser gleichen Segmente zu derselben Entfernung der geraden Linie gelegt.
Dann ist der Schwerpunkt der Masse verteilten gleichförmig vom Umfang des Dreiecks in der Linie $A_1F$. Weil er auch in anderen Bisectrices des Mittel-Dreiecks ist, ergibt es sich, dass der Punkt von Spieker der Schwerpunkt des Umfangs des Dreiecks ist.
Der halbe Punkt von gleich weit entferntem Es der Punkte von Tangencia der exeingetragenen Umfänge ist er entgegengesetzt in und mit der Seite, und infolgedessen in der gründlichen Achse dieser Umfänge.
Wie die gründliche Achse zur Linie senkrecht ist, die die Zentren vereinigt, die das der äußerliche Bisectriz des Winkels in ist, es sich ergibt, dass die gründliche Achse der zwei exeingetragenen Umfänge der Bisectriz des Mittel-Dreiecks ist, und infolgedessen der Punkt von Spieker die gründliche Mitte der drei Umfänge exeingetragen und nämlich ist die berührenden haben dieselbe Länge vom Punkt von Spieker bis zu den exeingetragenen Umfängen.
Die Umfänge von Jenkins des Klangs drei berührende Umfänge intern in einem exeingetragenen Umfang und exteriormente in den anderen zwei.
Drei Umfänge von Jenkins werden im Punkt von Spieker geschnitten, weil die Umkehrung hinsichtlich des rechtwinkligen Kreises in drei exeingetragenen Umfängen, deren Mitte der Punkt von Spieker ist, die Seiten des Dreiecks in die Umfänge von Jenkins umbildet.
Und außerdem sind drei Umfänge von Jenkins, wenn der Punkt von Spieker auf dem Umfang eingetragen in ist, in einer zur Linie senkrechten geraden Linie von Nagel berührend, und in anderem Fall ist die Mitte des berührenden Umfanges in drei Umfängen von Jenkins in der Linie von Nagel, weil dieser Umfang vom eingetragenen Umfang umgekehrt ist.
Natürlich ist der letzte Punkt nicht, scheint auf mich, in USW.: Wird er neu sein? Nach Geogebra ist seine erste Koordinate trilineal für (6,9,13) zu 166.495. und befindet sich in der Seite der Suche von USW. nicht
Die folgende Figur versucht, das vorige Eigentum zu illustrieren.
Der Applet GeoGebra-Java nicht ausgeführt sein konnte.
Für die biographische Beschreibung benutzte Quellen:
In Gesellschaft von Freunden können die Schriftsteller auf seinen Büchern, die Volkswirtschaftler auf dem Zustand der Wirtschaft, die Anwälte seine letzten Prozesse und die Geschäftsleute seine letzten Besorgungen diskutieren, aber die Mathematiker können auf seiner Mathematik unbedingt nicht sprechen. Und tiefer ist seine Arbeit, weniger begreiflicher ist er.
Alfred Adler
INFINITUM. Mathematische Verabredungen
Ich bin mit Adler einverstanden. Für einen Mathematiker ist er sehr kompliziert, jemanden zu erklären, der in der Angelegenheit nicht sehr gelegt ist, was ist, was er macht. Sicherer, dass ihr euch einige von euch in solcher Lage gelegentlich befunden habt. Die Kommentare sind die beste Art, euere Erfahrungen zu zählen.
Watch The Amazing Race S16E05 I Think We're Fighting the Germans, Right? freeDieser Artikel war gefördert, um im Portal zu erscheinen, Schwenke mich von. Wenn er dir gefallen hat und willst du darüber abstimmen tritt in diese Verbindung ein und Schwenke es Holzbündel click in.
Einführung 
In einem an den schweizerischen Physiker geleiteten Brief Nicolas Béguelin, Euler kommentierte er durch das Folgende:
Alle enthaltenen Nummern nur einer Form geschickte sind sie in Klang oder Doppelten der Vetter wo und zwischen sich geschickt. Ich habe beobachtet, dass andere ähnliche Ausdrücke der Form dasselbe Eigentum genießen, im Buchstaben zweckmäßige Werte gebend.
Das ist, jede Nummer, die sich von einer einzigen Form ausdrücken kann, wie, für und relative Vetter, das oder das Doppelte des Vetters geschickt ist. Besonders ist jede ungleiche Nummer, die sich von einer einzigen Form im vorigen Sinn ausdrücken kann, geschickt.
Aber noch gibt es mehr. Nicht nur er dient einen Ausdruck des Typs, sondern gewisse Werte von solche existieren, dass ein Ausdruck des Typs dasselbe Eigentum erfüllt. In diesen Werten von Es, in denen er ihn sie numeri idonei (zweckmäßige Nummern oder taugliche Nummern in Spanier und suitable numbers oder idoneal numbers auf Englisch nennt).
Wenigstens war das die Anfangsbestimmung der tauglichen Nummer. Aber diese Form, diesen Typ von Nummern zu bestimmen, stellt manche Probleme vor. Zum Beispiel, ist das eine taugliche Nummer (wir es niedriger sehen werden) und für ihn wird erfüllt, dass:
das ist die einzige Vorstellung der Nummer 9 wie. Aber weil alle 9 wissen, ist er nicht geschickt, obwohl das ja Kraft des Vetters ist, da. Infolgedessen müssten wir sagen, dass das eine taugliche Nummer ist, wenn das jede ungleiche Nummer, die sich von einer einzigen Form ausdrücken kann, wie er geschickt ist oder von einem Vetter potenziert, aber man kann ein bisschen mehr rein spielen, um diese neue Möglichkeit zu beseitigen, ist, dass die Nummer eine Kraft der geschickten Nummer ist (in der ersten Verbindung der Quellen ihr einige der Bedingungen sehen könnt, der in der Bestimmung hinzugefügt sein können, um das zu vermeiden).
Ein bisschen die Form kennend, von irgendeinem Euler zu arbeiten, kann er ausdenken, dass er dort nicht geblieben ist, dass seine Forschungen zu diesem Thema in der Errichtung der Bestimmung dieses Typs von Nummern nicht geendet haben. Von seinem Charakter Untersuchender einen wissend, neigt zum Denken er, dass er versucht hat, mehr die Angelegenheit zu ergründen. Und ein bisschen Information über seine Gewinne habend, ist er nicht schwer, sich zu überzeugen, aus dem er es gemacht hat, und sehr tief. Da war er ja, so. Euler hat eine Liste von tauglichen Nummern ausgearbeitet. Das ist die folgende:
In Gesamtsumme 65 Nummern, dass Euler bestätigt hat, dass sie tauglich waren (im Sinn kommentiert eher). Wirklich hat er mehr nachgeforscht: Er hat benutzt sie ist aufgeschmissen, um geschickte Nummern sogar von acht Ziffern zu bauen.
Gekommen ist das Logischste zu diesem Punkt, dass wir die folgende Frage machen: Ist die Gesamtheit von tauglichen Nummern unendlich? Die Antwort ist nicht. 1934 hat der Mathematiker Sarvadaman Chowla bewiesen, dass die Gesamtheit von tauglichen Nummern begrenzt ist.
Das wissend, erscheint wir andere Frage: Gibt es mehr taugliche Nummern außer den getroffenen von Euler? Zum Unglück gibt es keine Antwort für diese Frage immer noch, obwohl Daten ja gehabt werden. Konkret ist es bekannt, dass noch eine taugliche Nummer als vieles existiert, außer denen sie sich in der Liste befinden. Und der, wenn die letzte taugliche Nummer in Wirklichkeit existiert, größer als 100000000 sein muss.
Größere geschickte die tauglichen Nummern vorgefundene NummerWir haben bevor Euler kommentiert, dass er diese Nummern benutzt hat, um geschickte Nummern relativ grades zu treffen (bis acht Ziffern). Die größte geschickte Nummer, die Euler mit diesem Téctica getroffen hat, war. Um zu beweisen, dass diese Nummer von acht Ziffern geschickt ist, wäre es zu bestätigen nötig, dass die einzige Lösung der Gleichung
Er macht genug Zeit schon wir kommentieren durch ein neugieriges Eigentum der Nummer 26. Konkret ist er diese:
Die Nummer 26 ist die einzige natürliche Nummer, die zwischen einem Quadrat () und ein Würfel (gelegt ist).
Anscheinend hat Fermat besagtes Ergebnis bewiesen, aber im Post, wo wir Rechenschaft dieses Charakteristikums der 26 ablegten, kam kein Beweis dieser Tatsache vor. Brachte Juanbuffer in einem Kommentar einen Pdf mit einer Vorführung des gleichen ein (die, wenn ich schlecht nicht aufwache, in Spanier nicht war). Zum Unglück scheint es, dass man schon zu besagtem Dokument nicht Zugang haben kann (wenigstens ich nicht kann). Aus diesem Grund habe ich angefangen … zu suchen und ich habe sie getroffen. Mein erstaunter Carlos Ivorra ist der, der mir besagten Beweis angepasst hat. Guter, weiß ich in Wirklichkeit nicht, ob sie sein ist, aber es erscheint in einem der Bücher in Format pdf, der verfügbare in seinem Web hat: Zahltheorie.
In diesem Artikel werdet ihr diese Vorführung sehen können.
In Wirklichkeit ist die Vorführung, die ich euch von der Tatsache vorstellen werde, von der die einzige natürliche Nummer zu die 26 mit dem erwähnten Eigentum ist, eher relativ elementar. Das Interessante des Beweises ist, dass er von der Gesamtheit der natürlichen Nummern ausläuft, um ein Charakteristikum in zu beweisen. Die Tatsache, sich auf eine Gesamtheit größere zu stützen, die ein ziemlich brauchbares aus dem gemachte Argument ist, um etwas in ihm zu beweisen, den viele Mathematiker genutzt haben, wenn sie sich von der Kraft des besagten Arguments überzeugt haben.
Centrémonos im Thema. Wir werden die Vorführung in (den ganzen Nummern) machen. Dann die Äußerung des Ergebnisses, den folgenden beweisen:
Lehrsatz:
Die einzigen ganzen Lösungen der Gleichung
sie sind.
Vorführung:
Ein einfacher Blick sagt in der Gleichung uns, dass das eine Nummer Paar nicht sein kann. Wenn wir das draußen hätten, dass das auch Paar wäre. Der Widerspruch würde sich in befinden, der Umstand, dass der rechte Teil der Gleichheit zwischen 8 teilbar wäre, aber der linke Teil wäre noch sogar teilbar zwischen 4 nicht. Infolgedessen muss das eine ungleiche Nummer sein.
Wir laufen jetzt von aus für im Ring hineingehen. Wir meinen, dass sein Ausdruck die vorige Gleichung in diesem Ring factorizada von der folgenden Art vorkommen kann:
Wir halten die folgende Regel in diesem Ring:
Es ist einfach, zu bestätigen, dass besagte Regel multiplicativa ist das ist, dass sie für jedes die Null unterschiedliche Element von positiv ist, dass null zu null für das Element ist und dass die Regel des Produkts von zwei Elementen von es das Produkt der Regeln des Ausdrucks Elemente.
Nehmen wir jetzt an, dass sie die Anfangsgleichung erfüllen und nehmen wir die Elemente und von. Irgendein Element, das ein gemeinsamer Divisor von ihnen zwei ist, muss auch in seiner Summe, und in seinem Unterschied teilen. Regeln in dieser Lage nehmend, hätten wir das Folgende:
Infolgedessen. Die einzigen Paare Werte, die das erfüllen, sind diese folgend:
Mit den ersten zwei Möglichkeiten erlangen wir die Elemente und-1$ von, die Einheiten dieses Ringes sind. In anderen Fällen erlangen wir die Elemente und, sie alle mit Regel Paar (2 ó 4), also sie in teilen können, (deren Regel) ungleich ist.
Damit kommen wir zum Folgenden: Und sie sind zwischen sich geschickt.
Jetzt, hatten wir die Anfangsgleichung Factorizada der folgenden Form:
Diese zwei Tatsachen vereinigend, haben wir, dass das Produkt von zwei Elementen, von denen sie geschickt sind, zwischen sich in einem Würfel gleich ist. Es zwingt in, dass jeder dieser Elemente er Selbst ein Würfel ist. Besonders:
Entwickeln wir jetzt den rechten Teil der letzten Gleichheit:
Koeffizienten von von den Anfangs- und letzten Ausdrücken gleich machend, kommen wir zur folgenden Gleichheit:
Eine einfache Analyse der Werte bringt er uns von und, in dem die einzigen möglichen Werte sind und (aufwachen wir, der und das sind ganze Nummern). Für obtenemos, dass und deshalb. Und für obtenemos und infolgedessen, der das gesuchte Ergebnis ist.
Kennt ihr eine andere Vorführung dieser Tatsache? Die Kommentare sind euer.
Angesichts des Titels des Post ist die Thematik des Problems dieser Woche ziemlich klar: Wahrheit? Dort geht er:
Er rechnet den folgenden maximalen gemeinsamen Divisor:
Zufall.
Er ist nicht möglich, dass oberhalb Interesses freie Nummern existieren, also, von sie geben, der erste von ihnen wäre schon wegen desselben Fehlers des Interesses interessant.
Martin Gardner
INFINITUM. Mathematische Verabredungen
Interessanter Gedankengang von Herrn Gardner, der außerdem zum Haar kommt, nachdem er das interessante Eigentum der Nummer 26 sieht, die ich euch gezeigt habe, macht ein Paar Tage.
Die Universität ist eine der besten Etappen im Leben des Studenten, wenigstens unter meinem Standpunkt. In dieser Zeit des akademischen Lebens geht einer in einer völlig neuen Welt hinein, in der er Menge von Geschichten erlebt und in dem, der viel Leute kennt.
Wenigstens war das mein Fall. Ich habe Glück gehabt, sehr gute Personen in meiner universitären Etappe in Granada vorzufinden, Personen, die mir viel in jenen Augenblicken geholfen haben und mit denen ich unvergessliche Erfahrungen geteilt habe. Zum Unglück bleiben sie immer Leute, mit denen du nicht so viel in Verbindung zu treten vermagst, obwohl es keine Vernunft dafür gibt. Leute, die jeden Tag mit dir teilen aber mit denen du so viel keinen Kontakt hast.
Obwohl er schon es ist einige Jahre diese Periode beendet hat, erinnere ich immer noch an viele meiner Kameraden, so viel in die nächsten (axiomatisch) wie an die, die es so viel nicht waren. Isa gehört, zum Unglück, zur letzten Gruppe. Und ich sage zum Unglück, weil sie immer mir wie eine großartige Person, immer mit einem Lächeln im Mund, immer bereiten geschienen hat, eine Hand zu werfen. Und, schon im akademischen Teil hineingehend, weil sie immer eine glänzende Studentin war. Und wenn ich glänzend sage, will ich fürchterlich glänzend sagen. Lola, kann eine seiner Freundinnen in jener Zeit (ich nicht weiß, ob ihr euch kanntet), bevor ich die Karriere schon beginne, bestätigen, dass Isa immer über allen war, die wir Klasse mit ihr teilen. Aus diesem Grund verwundert es mich nicht, dass er gekommen ist, soweit er gekommen ist. Und um das Sein freue ich mir so, wie er ist eine Barbarei.
Isabel Fernández
In Linares geborene Isabel Fernández, hat am 16. August 1979, sein Staatsexamen in Mathematischen Wissenschaften im Lauf 1997-98 an der Universität von Granada begonnen. Nach ihren eigenen Wörtern hat die Geometrie seit dem Anfang er aufgefallen (in niemandem III von denen, die wir deinen erhabenen Lauf der Geometrie wissen, mit Paco Martín uns das verwundert). Sogar ist solcher Punkt die Sache gekommen, die er in seinen letzten zwei Jahren von Karriere von zwei Forschungsstipendien in der Abteilung von Geometrie und Topología an besagter Universität genossen hat.Nachdem es als Murcia und Badajoz gilt, ist sie jetzt Beschäftigte Lehrerin Promoviert von der Abteilung der Fleißigen Mathematik I der Universität von Sevilla.
Richtung der ICM Guter: und was ist, was Isa erreicht hat? Da ein bisschen so wichtiger wie die erste spanische Frau zu sein, wer eine Einladung erhält, um als Referent im ICM anwesend zu sein. Fast gar nicht. 
Pablo Mira
Besagte Einladung ist er durch seine Arbeiten auf Oberflächen der halben standhaften Krümmung gekommen und so viel werden sie als sein Kamerad Pablo Mira die sein, die die Ergebnisse mitteilen, die sie in diesem wichtigsten Kongress erlangt haben.Die Nachricht über diese Einladung ist zum ICM ich gekommen Schwenke mich über (die Verbindung am Ende dieses Artikels ist). Nichts mehr, habe ich sie sehen, angefangen eine Art zu suchen, mit Isa Kontakt aufzunehmen, um ihr zu gratulieren und um ihm blog zu kommentieren, dass etwas über sie in Gaussianos schreiben wollte, den er natürlich schon über Lola (vielen Dank) kannte. Später, einige Kurrier uns gekreuzt haben, hat Isa mir kommentiert, dass er versuchen würde, etwas zu schreiben, erklärend, worin die Arbeit besteht, die sie Pablo und sie verwirklicht haben und die sie gedient hat, um in den ICM zu gehen. Wer, der besser als sie ist, um es zu erklären?
Die Arbeiten von Isa und PabloGuter, ist es schon von Zeit, dass wir wissen, warum sie den ICM zu Isa und Pablo eingeladen haben. Der folgende Text ist, was Isa für mich und für euch alle geschrieben hat, seine Arbeiten uns erklärend.
Oberflächen der halben standhaften Krümmung (CMC)
Ein sehr wichtiger Begriff ist dieser der halben Krümmung, die uns eine Maßnahme gibt, von wie sich die Oberfläche im Raum krümmt, wenn es darum geht, Oberflächen zu lernen. Die Idee ist die folgende: Für jeden Punkt P halten wir von der Oberfläche alle normalen Einschnitte der Oberfläche, die durch diesen Punkt gehen, der das die Kurven sind, die erlangt werden, nachdem sie die Oberfläche mit allen zur gleichen senkrechten Ebenen im Punkt P schneiden. Von allen diesen Kurven bleiben wir mit denen, die kleinere und größere Krümmung (die gerufenen Hauptleitungen) haben, diese Leitungen bezeichnen das Größte, dass wir uns gegen eine Seite oder gegen den anderen in der Oberfläche krümmen können.
Wenn wir klingeln und ist die halbe Krümmung in den Krümmungen von zwei Hauptleitungen, in diesem Punkt, genau, der arithmetische Durchschnitt zwischen den zwei:
Die Oberflächen, die dieselbe halbe Krümmung in allen seinen Punkten haben, benennen halben standhaften (CMC) als Oberflächen von curvartura, und haben geometrisches Eigentum, das sie sehr interessant macht.
Zum Beispiel, werden die Oberflächen von gleichem CMC in null als minimale Oberflächen, Name benannt, der von der Tatsache kommt, von der diese Oberflächen die sind, die kleineres Gebiet von zwischen allen Oberflächen mit demselben Umriss (örtlich und nämlich haben, genügend kleine Stücke der Oberfläche haltend). Dieses Eigentum ist genau die, die er die Filme der Seife charakterisiert (das die erste der berühmten Gesetze von Plateu ist, die das Betragen der Filme der Seife regieren). Das erlaubt uns, die minimalen Oberflächen als jene zu charakterisieren, in der der Film, der sich in der vom Abschneiden gelassenen Lücke bildet, wenn wir ein kleines Stück der Oberfläche beschneiden und den Rest der Oberfläche in Wasser mit Seife legen, gerecht dieselbe Form wie das originale Stück hat.
Guter, bezog sich alles Vorige auf Oberflächen, die sie innerhalb des gebräuchlichen Raums erleben, (der Raum existieren die Oberflächen von CMC euclídeo dreidimensionaler), aber im Allgemeinen und die minimalen Oberflächen besonders in irgendeinem Typ von Räumen, und ein Ast der Theorie der Oberflächen der großen Bedeutung ist aktuell das Studium der Oberflächen von CMC in gleichartigen Räumen. Und was ist ein gleichartiger Raum? Da gesagt großen Strichen, ist das ein Raum, der in allen seinen Punkten und nämlich gleich ist, hat keine speziellen Punkte (obwohl es ja spezielle Leitungen geben kann). Einleuchtend ist der Raum euclídeo ein gleichartiger Raum, aber es gibt mehr. Denken wir zum Beispiel an einen Zylinder an eine Kugel und nämlich, der Raum Produkt. In diesem Zylinder sind alle Punkte gleich, aber es erweist sich als axiomatisch, dass die senkrechte Leitung (dieser des Faktors) speziell ist. Die gleichartigen dreidimensionalen Räume sind sehr einstudiert, und seine Einteilung bewacht viele Beziehung mit den berühmten Geometrien von mit der Vermutung verbundenen Thurston, von Poincaré.
Und das ist das Feld, in dem Pablo Mira und ich in den letzten Jahren gearbeitet haben, (seit 2005) und auf dem sie eingeladen haben, uns eine Konferenz im ICM zu geben (die wahrscheinlich durch Titel Thusrton 3 - dimensionalen geometries bringen wird).
Was warum wir? Da hauptsächlich dank zwei Artikeln, die wir zum Thema veröffentlicht haben und in denen wir einen der auf minimalen Oberflächen geöffneten Probleme in gleichartigen Räumen mehr Gegenwart in diesem Augenblick beschlossen haben. Ich werde versuchen, kurz zu erklären, worin es besteht.
Einer der grundlegenden Probleme ist auf minimalen Oberflächen das gerufene Problem von Bernstein, das darin besteht, die minimalen Oberflächen zu klassifizieren, die grafos besonders eine Ebene sind. Im Raum wurde dieses Problem euclídeo 1915 vom eigenen Bernstein beschlossen, den er bewiesen hat, dass die einzigen minimalen ganzen Grafos die Ebenen sind.
Einer der am meisten einstudierten gleichartigen Räume ist der Raum von Heisenberg. Dieser Raum ist (topológicamente) als der gebräuchliche Raum, aber mit einer unterschiedlichen Metrik. Und nämlich, ist die Form, Entfernungen zu messen, (und infolgedessen alles Verbundene mit der Krümmung) unterschiedlich. In diesem Raum ist die senkrechte Leitung speziell, und hat von den horizontalen Leitungen abweichendes Eigentum. Im Raum von Heisenberg hat er Sinn infolgedessen, das Problem von Bernstein vorhat, durch das wir eher und nämlich kommentieren, die ganzen minimalen Grafos im Raum von Heisenberg zu klassifizieren.
Dieses Problem zu beschließen, war unser größter Beitrag in dieser Theorie. 2007 klassifizieren Pablo und ich die Familie und dank einer ersten Arbeit von 2005, von grafos minimale ganze Zahlen des Raums von Heisenberg, der, wogegen es im Raum euclídeo geschieht, eine sehr große Familie, parametrizada in Enden von unterscheidenden Cuadráticas holomorfas ist, die ab einer harmonischen Anwendung auf der Oberfläche erlangt werden, aber das ist schon anderes Thema …
Verbundene Verbindungen:
Dieser Artikel ist mein Beitrag in der zweiten von Juan Pablo organisierter Ausgabe des Karnevals der Mathematik.
EinführungDie Welt der Kurven ist eine wirklich interessante Welt. Wir können uns Formen vieler Typen befinden, seit mehr Bekanntschaften segmentiere ich comoun (ja, obwohl er in vielem sie überrascht, ein Segment eine Kurve im mathematischen Sinn des Begriffes ist) oder eine Portion des Umfanges, bis einige der Hipopede von Eudoxo oder der Cuadratriz.
Ich fühle diese so weite Welt der Kurven wir können viele mit Charakteristika sehr interessant treffen. Der Cicloide ist, zweifellos, eine von ihnen. Er hat einiges sehr neugieriges Eigentum, das, nachdem es gesehen ist, auf unsere eigene Intuition stößt. Diese Kurve wird die Protagonistin dieses Artikels sein.
Was ist der Cicloide?
Beginnen wir diesen Punkt, unserer Freundin den Cicloide vorstellend:
Der Cicloide ist die von einem Punkt entworfene Kurve des Umfanges (gerufener Umfang generatriz), wenn sich diese auf einer Linie (gerufene gerade Richtlinie) dreht, ohne durch sie zu gleiten.
Und nämlich, ist der Cicloide die Kurve, die in roter im folgenden Schaubild erscheint:
Angesichts eines Umfanges von Radius und ein im Ursprung gelegener Punkt der gleichen von Koordinaten, die Gleichungen paramétricas von einem Bogen des von diesem Punkt erzeugten Cicloide sind, nachdem sie den Umfang auf der Achse drehen:
, mit
Der Cicloide war eine entlang der Geschichte sehr gelernte Kurve. Schon hatte er Ende des XVI. Jahrhunderts, Galileischer diese Kurve gelernt, gewisse Annäherungen auf mit ihr verbundenen Rechnen erlangend (konkret auf dem von einem Bogen eingeschlossenen Gebiet von Cicloide). Mersenne hat von aufgefallen, möglich er nachdem diese Studien von Galileischer gekannt hat den Mathematikern dieser Zeit (wir schon im XVII. Jahrhundert sind) gegen diese Kurve. Und viele waren die, die zum Aufruf geeilt haben. So viel war das die von dieser Kurve geschaffene Erwartung, die geendet hat, um sich als die Hellenische der Geometer durch die Quantität der Dispute zwischen Mathematikern zu kennen, die die mit ihr verbundenen Studien provoziert haben.
Der Fall ist, dass einer der ersten, die sie ergeben auf dem Cicloide erreicht haben, Roberval war. Mersenne hat 1628 das Studium dieser Kurve und einige Jahre später, auf 1634 vorgeschlagen, Roberval hat bewiesen, dass das von einem Bogen eingeschlossene Gebiet von Cicloide genau drei Male das Gebiet des Umfanges ist, der sie erzeugt. Niedriger hat er auch eine Methode getroffen, um die berührende im Cicloide irgendeiner Punkt der gleichen zu entwerfen (Problem beschlossenes auch von Fermat und Beiseite lass) und hat Rechnen verbundene mit an den Cicloide angeschlossenen Revolutionsumfängen verwirklicht.
Roberval hat diese Ergebnisse in seinem Augenblick nicht veröffentlicht, da er sie in gewissem Geheimnis bewachen wollte, um sie als Probleme zu benutzen, die Kandidaten in seinem Katheder vorschlagen. Dadurch hat er, wenn Torricelli (Mathematiker, der sich auch für diese Kurve interessiert hat) seine Lösungen in einigen von den von Roberval beschlossenen Fragen veröffentlicht hat, ohne ihn zu erwähnen, geglaubt, dass es um Plagiat ging. Aber die Studien von Torricelli hatten sich von unabhängiger Form bis diese von Roberval entwickelt. Am Ende war die Geschichte mit den zwei gerecht: Roberval war der erste, die Lösungen und Torricelli der erste zu treffen sie zu veröffentlichen.
Aber die Sache ist dort nicht geblieben. 1658 hat Christopher Wren gerechnet, dass die Länge des Bogens von Cicloide vier Male der Durchmesser des Umfanges ist, der besagte Kurve erzeugt. Und viele waren mehr die Mathematiker, wer Bericht seiner Zeit ihr gewidmet hat, zwischen denen sich Pascal, Huygens, Leibniz, Newton, Jakob und Johann Bernoulli berühmte befinden …
Welches Eigentum hat er?Das große von dieser Kurve hervorgerufene Interesse kommt von den neugierigen Charakteristika, die er besitzt. Außer den schon erwähnten Rechnen hat der Cicloide zwei wirklich interessantes Eigentum und das, als Mädchen für alles sie zu Beginn vom Artikel, in gewisser Art auf unsere Intuition einen Anschlag verüben. Konkret sind das seine Bedingung von Braquistócrona und seine Bedingung von Tautócrona. Wir werden erklären versuchen, was sie dieses zwei Eigentum bedeuten.
Braquistocronía
Das Ende bedeutet die kleinste Zeit braquistócrona. Das Problem vom Braquistócrona kann von der folgenden Form geäußert sein:
Angesichts eines Punkts in einer Ebene und anderem Punkt derselben Ebene gelegt senkrecht niedriger, dass (ohne unter senkrecht gerecht zu sein zu vermögen), die Kurve zu treffen, die er vereinigt und die die Zeit minimal macht, dass ein beweglicher Punkt zögert, von um zu kommen in der Aktie der Schwere unterworfen zu sein
Die Lage der Punkte ist etwas Ähnliches:
Erstens wäre nicht seltsam, zu denken, dass diese Kurve eine gerade Linie ist (ein Segment in diesem Fall), da eine gerade Linie in einer Ebene die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten vorstellt. Aber wir nicht von Entfernungen, sondern von Zeiten sprechen. Wird die Antwort auch die gerade Linie immer noch sein? Sehen wir dieses Video, in dem zwei cicloides und ein Segment erscheinen und antworten wir später:
Weil man die Kugeln (den bewegliche Punkt) sehen kann, kommen sie früher zum Schicksal, wenn sie durch den Cicloide herunterkommen. Und nämlich, dass die Zeit von Strecke im Cicloide kleiner ist, als in einem Segment. Wirklich bagatellisiert der Cicloide diese Zeit von Strecke und nämlich, der Cicloide ist der Braquistócrona. Neugieriger: Wahrheit?
Tautocronía
Der Braquistocronía ist das einzige neugierige Eigentum des Cicloide nicht. Wirklich hat er eine, die überraschender ist, wenn er Platz hat. Wir könnten sie von der folgenden Art äußern:
Nehmen wir an, dass wir einen nach unten "hängenden" Cicloide haben und, dass wir entlang ihrer zwei Kugeln seit verschiedenen Punkten fallen lassen. Die Frage ist, dass er egal ist, seit wir Punkte sie fallen lassen, da die Kugeln gleichzeitig zum niedrigsten Punkt kommen.
Dieses Eigentum wird tautocronía benannt (der dieselbe Zeit bedeutet). Wir werden es in einem Video sehen:
Zum zu Ende Gehen lasse ich euch diese Verbindung. Er hat mir interessant geschienen, weil, in jedem der Raster stechend, die erscheinen, wir cicloides schaffen und grafisch zwei Eigentum kommentiert eher sehen können.
Quellen:
Ah, erkenne ich den Löwen als seine Klaue an.
(Auf Newton sich beziehend).
Johann Bernoulli
INFINITUM. Mathematische Verabredungen
Wie wir anderer Tag im Post auf dem Cicloide kommentieren, diese Kurve hat zu vielen Geschichten und Dispute zwischen Mathematiker Anlass gegeben. Der Satz dieses Post war das Ende von einer von ihnen.
1696 hat Johann Bernoulli in den Mitgliedern von Royal Society zwei Probleme entworfen (hinterdrein verbundene mit dem Cicloide). Er hielt sie für so kompliziert, dass er eine Rate von sechs Monaten für die Vorstellung der Lösungen gegeben hat und angeboten hat, wie ich ein wertvolles Buch seiner persönlichen Sammlung in dem belohne, der zwei Probleme beschloß. Nach diesen sechs Monaten hatte Leibniz nur den ersten von ihnen beschlossen. Angesichts der Ergebnisse Bernoulli hat er andere sechs Monate von Rate … gegeben aber alles ist gleich immer noch gewesen: weder keine neue Lösung des ersten noch keine Lösung für den zweiten.
Auf Grund dessen hat Leibniz ihn angeregt, dass er ihn machte, diese Probleme zu Newton zu kommen. Dieser hatte schon seinen besten Augenblick und dadurch verbracht, im Maße wie er scheint, hat Bernoulli in dieser Sendung eine Art gesehen, ihn lächerlich zu machen (Bernoulli Parteigänger von Leibniz im Disput auf der Entdeckung des Rechnens war).
Der Fall ist, dass die Probleme zu Händen von Newton ein Nachmittag … gekommen sind und in der Morgenfrühe von demselben Tag hatte er schon sie beschlossen. Im nächsten Morgen hat er an Royal Society seine Lösungen gesendet, aber ohne identifiziert zu sein. Bernoulli hat nur gebraucht ihnen einen Blick zu werfen, um den Löwen wie Autor der gleichen zu erkennen.
Einige Dezimal-von Pi
Weil ihr viele von euch heute, an 14. März wissen werdet, ist das der Tag von Pi., wenn jemand nicht weiß, warum, die Vernunft ist, dass er sich in der angelsächsischen Welt die Daten von der Form Monat / Tag / Jahr schreibt. Auf solche Weise wäre der heutige Tag 3/14.Jedes Jahr schreibe ich etwas Verbundenes mit Pi dieser Tag. Und dieses Jahr wird weniger nicht sein. Wir werden den Tag von Pi von unendlicher Form feiern.
Von unendlicher Form?Wir werden diesen Tag von Pi von unendlicher Form feiern, verschiedene Summen und unendliche Produkte zeigend, wo diese wunderbare Nummer erscheint. Wir gehen mit ihnen:
Und für Exponenten 6 diese:
In ihr sind die Zähler der Brechen die geschickten Nummern ausgenommen die 3 und die Nenner bringen eine Summe, wenn die geschickte Nummer von der Form und einem Subtrahieren ist, wenn er von der Form ist.
Hier erscheinen die ungleichen Nummern als Nenner und es wechseln sich die Zeichen + und - zwischen den Brechen ab.
Und in diesem Ausdruck erscheinen sie in den Nennern der Quadräte aller ungleichen Nummern, die von 3 nicht vielfach sind.
Ich empfehle die Verbindung MathWorld, die am Ende des Artikels erscheint, um andere Ausdrücke dieses Stils zu sehen, deren Entdecker Ramanujan war.
Das ist die folgende:
Ich ließ mir viele Ausdrücke, deren Protagonist Pi ist. Wenn ihr etwas kennt, das in diesem Artikel nicht erscheint und glaubt, dass es wichtig ist oder interessanter zögert nicht, sie in den Kommentaren zu schreiben.
Andere Tage von Pi in Gaussianos:
Quellen:
